Высшая математика Мат. логика и теория множеств

Тема 1. Понятия о высказываниях

Упражнение. Какие из перечисленных записей являются высказываниями? Какие из высказываний истинны, какие ложны? 1) 17; 2) 125+11=7140; 3) мотоцикл; 4) высокая гора; 5) вдоль дороги; 6) на берегу Черного моря расположен город Сочи; 7) 7>5; 8) 21-7=14; 9) (812-213):20=30; 10) 358-(160+240); 11) 200=250.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Укажите среди следующих предложений высказывания: «Луна спутник Земли»; «Все учащиеся нашей группы любят математику»; «Принеси мне, пожалуйста, книгу»; «Некоторые люди в нашем городе имеют голубые глаза»; «Окружностью называется множество всех точек плоскости, расстояние которых до данной точки этой плоскости имеет одинаковую величину»; «Вы были сегодня в театре?».

2.Установите, какие из предложений являются истинными, а какие ложными высказываниями: а) число 2 меньше числа 0; b) частное от деления числа 7 на 5 равно 0; с) сумма чисел 5 и 3 равна 10; d) существует такое действительно число , что ; е) .

Придумайте по 3 истинных и ложных высказывания.

3. Из учебников математики выписать несколько текстовых задач и определить, разбив их на предложения, являются ли эти предложения высказываниями. Определить истинность этих высказываний. Установить, связаны ли высказывания союзами «и», «а», «но», «либо», «или», «если,то».

4. Среди высказываний укажите сложные; выделите в них простые, обозначив каждое из них буквой. Запишите с помощью букв каждое сложное высказывание: а) На уроке математики учащиеся отвечали на вопросы учителя и писали самостоятельную работу; b) Мы пойдем кататься на коньках или на лыжах; с) Если в данном четырехугольнике диагонали имеют равную длину, то этот четырехугольник - ромб; d) -17 < 0.

Тема 2. Операции над высказываниями

1. Отрицание высказывания

Упражнение. Составить отрицание следующих высказываний

1) Москва столица России; 2) Город Санкт-Петербург расположен

на берегу Каспийского моря; 3) Гагарин первый в мире космонавт; 4)

Сумма чисел 40 и 20 равна 50; 5) Частное отделения 100 на 5 равно

20; 6) Разность чисел 5 и 3 равна 1.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Среди следующих высказываний найдите отрицание высказывания «Существуют ченые простые числа»:

а) 	существуют нечетные простые числа;

б)	существуют четные составные числа;

в)	 любое простое число нечетно;

г) не существует четных простых чисел.

2. Постройте отрицания высказываний. Определите значение истинности этих высказываний и их отрицаний.

а)	Число делитель числа ;

б)	Автомобиль не имеет права ехать вперед на красный свет;

в)	Существуют параллелограммы с прямыми углами;

г)	Не существует натурального числа, делящегося на .

3. Определите, какие из предложений являются отрицаниями друг друга и какие нет; объясните почему:

а)	 ; ,

б)	 ; ,

в)	 прямоугольный; остроугольный,

г)	натуральное число четно; натуральное число нечетно,

	д) Иван мой друг; Иван мой враг,

е) все простые числа четны; все простые числа нечетны.

2. Конъюнкция высказываний

Задачи для самостоятельного решения

1.	Составить 5 высказываний, которые являются конъюнкцией

двух и более высказываний. Разбить эти высказывания на простые высказывания и указать, как составлены конъюнкции этих высказываний.

2.	Даны высказывания: А «Я купил велосипед», В «Я участвовал в соревнованиях по велоспорту». Сформулируйте высказывания, соответствующие следующим выражениям: а) б) ; в) ; г) .

3.	Дизъюнкция высказываний

Упражнение. Доказать справедливость следующих законов 

1) Законы поглощения (идемпотентности) 

а) , b) .

2)	Законы коммутативности

а) , b) .

3)	Законы ассоциативности

а) , b) .

4)	Законы дистрибутивности

a)	 ,

b)	 .

5)	Законы де Моргана 

а) ,

 b) .

Задачи для самостоятельного решения.

1.	Среди следующих сложных высказываний выделите дизъюнкции и определите, ложны они или истинны:

a)	Число 21 кратно 3 и 9;

b)	17

Тема 3. Множества и высказывательные формы

Тема 4. Операции над высказывательными формами и мно-жествами

Тема 5. Элементы теории нечетких множеств

Тема 6. Операции над нечеткими множествами