1. 5. В задаче выпуклого программирования найти условный минимум функции f(x)=x12+(x2+2)2 при ограничениях: x2-0.5·x1≤-0.5; x2-0.2·x12≥-1.2; x2≥0.
Решить графически и проверить условия Куна-Таккера.
2. 5. Приведенные ниже суждения относятся к поведению множителя μ(k) в методе множителей на k-й итерации для активного ограничения. Какие из них верны ?
а) зависит от g (x) д) зависит от μ (k-1)
б) зависит от C(k) е) стремится к бесконечности
в) всегда положителен ж) стремится к нулю
г) не меньше нуля з) увеличивается
3. 5. Поиск условного минимума функции f(x)=(x1-4)2+(x2-4)2 при ограничении g(x)=5-x1-x2 методом квадратичного штрафа в первой итерации при С=1 дал точку (3,3). Параметр штрафа вычисляется по формуле C(k)=10k-1. Безусловный минимум находится методом простого градиента. Найти 1-е направление спуска во 2-й итерации.
4. 5.Найти минимум функции f(x)=x2+0.25·x1-2 при ограничениях: 2·x1+3·x2 ≤ 18; 2·x1+x2 ≥ 10. В качестве начального базиса принять пару: x1 , x2.
5. 5. Задача линейного программирования записана в стандартной форме (ограничения - равенства). Имеется n неизвестных и m уравнений - ограничений. Какие из приведенных суждений могут быть верны ?
а) решение может содержать больше одной точки
б) точка решения - вершина многогранника ограничений
в) число ненулевых значений x в решении равно m
г) число нулевых значений x в решении равно m
д) число нулевых значений x в решении равно n-m
е) m<n ж) m=n з) m>n
6. 5. В задаче НЛП дано: f(x)=x1-x2; x2+4·x12≤16; x1≥0; x2≥0. Определить условный минимум графически и проверить условия Куна-Таккера.
7. 5. Условный минимум функции f(x)=x2 при ограничении -x12+x2+1≥0 определяется методом квадратичного штрафа. Безусловный минимум находится методом градиента. Вычислить аналитически минимум на первой итерации при C(1)=1.
8. 5. Условный минимум функции f(x)=x12+2·x22 при ограничении x2≥1 определяется методом множителей. Безусловный минимум находится методом наискорейшего спуска. В первой итерации при μ=1, C=1 получена точка минимума (0, 0.4). Найти первое направление поиска во второй итерации (C=2).
9. 5. В задаче ЛП дано: найти максимум функции f(x)=x1-x2 при ограничении x1+4·x2≤4. Решить симплекс-методом и проверить графически.
10. 5. В задаче ЛП дано: найти минимум функции f(x)=x1 +x2 при ограничении x1+4·x2 ≥4. Решить симплекс-методом и проверить графически.
11. 6. Решить задачу методом динамического программирования. Фирма выпускает трубы трех типов в количестве x(1),x(2) и x(3). Имеются трудности в обеспечении металлом, которые нельзя выразить в затратах. Поэтому принята стратегия - расход минимума металла при фиксированной месячной прибыли: 7000 у.е. Зависимость приращения прибыли dP(j) от каждого типа труб выражается функциями: dP(1)=0.2·x(1)^(1/2), dP(2)=0.4·x(2)^(1/2), dP(3)=0.3·x(3)^(1/2). Расход металла в тоннах на одну трубу составляет соответственно:0.02, 0.05, 0.1. Сделать оптимальный расчёт производства для дискрета по прибыли 500 у.е. Примечание: используйте обратную функцию x(j)=f(dP(j))
12. 7. Решить задачу целочисленного линейного программирования методом ветвей и границ.
f(x)=10·x1+6·x2+2·x3 → min
10.5·x1+8·x2+4.5·x3=3800
0.021·x1+0.084·x2+0.084·x3≤54
13. 8. Решить задачу коммивояжера на графе с пятью вершинами и заданной матрицей цен. Цена 100 означает отсутствие соответствующей дуги графа.
14. 8. Определить максимальный поток в заданной сети между указанными начальной и конечной вершинами s-f: 1-4.
Пропускные способности, указанные на дугах кольца, одинаковы в прямой и обратной дугах.
15. 7. Решить задачу целочисленного линейного программирования методом ветвей и границ.