Принципиальная постановка задачи статической оптимизации

Содержание

1. 1. Приведите принципиальную постановку задачи статической оптимизации.



2. 1. Напишите уравнение линии уровня функции y=x12+x22 при y=4. Что это за кривая?



3. 1. Как реализовано условие останова в алгоритмах поиска минимума функции?



4. 1. Опишите процедуру “точного поиска” в методе “золотого сечения”.



5. 1. Найти локальный минимум функции f(x)=x12+(x2-2)2 в направлении S: (-1, 1) из начальной точки x(0) : ( 3, 0) методом золотого сечения с параметрами 0.4 и 0.6. Пробные шаги делать с множителем h=1. Точность определения минимума равна 0.5 по каждой координате. Указать координаты начального отрезка (a,b).



6. 2. Сделать 2 шага поиска минимума функции f(x)=x12 + 2·x22 + 3·x32 + 4·x42 симплексным методом с начальным симплексом: (0,0,0,0), (1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1) и коэффициентом деформации 2.



7. 2. Найти минимум функции f(x) = (x1-2)2 + (x2-2)2 методом наискорейшего спуска из начальной точки x(0)=(4,1). Поиск минимума в заданном направлении сделать методом золотого сечения с параметрами 0.4 и 0.6, множителем грубого шага h=0.2 и точностью поиска 0.65. Правило останова алгоритма: каждая из компонент градиента меньше 0.25 по модулю.



8. 2. Задана функция f(x) = (x1-2)2 + 2(x2-1)2 и начальная точка x(0)=(3, 2). Для поиска минимума используется метод сопряженных градиентов. На первом шаге получена точка x(1)=(2.5, 1). Определить сопряженное направление второго шага.



9. 2. Задана функция f(x)=2·│x1│+│x2│. Поиск минимума её делается симплексным методом. Начальный симплекс имеет координаты вершин: (0,1),(2,1),(1,0). Минимум фиксируется в центре тяжести симплекса после его первой остановки. Определить координаты минимума.



10. 3. Для поиска минимума функции f(x)=&#9474;2-sign(x1)&#9474;·&#9474;x1&#9474;+0.5·&#9474;x2&#9474; используется метод наискорейшего спуска. Начальная точка x(0): ((-1), (7/3)). Точка минимума x·(k) в заданном направлении на k-м щаге находится как середина отрезка (a,b), найденного с грубым шагом h=1/3. Останов алгоритма поиска производится по признаку:&#9553;&#916;x(k)&#9553;<0.1. Найдите координаты точки в момент останова.



11. 3. Найти минимум функции f(x)=&#9474;x1&#9474;+&#9474;x2&#9474; методом сопряженных градиентов. Начальная точка (-1, 1). Минимум в заданном направлении находится следующим образом: определяется интервал минимума (a,b) с грубым шагом h=0.5. Минимум фиксируется в середине интервала. Останов алгоритма поиска производится по признаку: &#916;f(x(k))=f(x(k)+&#916;x)-f(x(k))>0 для любого &#916;x, такого что &#9553;&#916;x&#9553;<0.1.



12. 2. Дана функция f(x)=2·&#9474;x1-2&#9474;. Работает алгоритм симплексного метода от начального симплекса (0,1),(1,0.5),(1,1.5). Найти центр тяжести симплекса в момент останова.



13. 2. Производится поиск минимума функции f(x)=x12 + x22 методом сопряженных направлений. Задано начальное направление S: (-1,1) и начальная точка x(0): (1,0). В этом направлении определена точка минимума: (0.6,0.4). Постройте направление D, сопряженное направлению S, учитывая симметричность функции. Проверьте, лежит ли точка минимума функции на D.



14. 3. Дана функция f(x)=2·&#9474;x1&#9474;+&#9474;x2&#9474;. Для поиска минимума используется метод сопряженных градиентов. Начальная точка поиска (-0.5, 1.0). На первом шаге определен минимум в первом направлении: (0.01, 0.75). Вычислить направление поиска на втором шаге.



15. 3. Минимум функции f(x)=&#9474;2-sign(x1)&#9474;·&#9474;x1&#9474;+&#9474;x2&#9474;определяется методом градиента с константой шага &#945;=0.5. Начальная точка x(0): ((-0.5,-0.5). Применяется единственное условие останова: &#9553;grad(f(x(k))&#9553;<0.1. Изобразите траекторию поиска (соедините очередные точки x(k))