Изопериметрические задачи

Содержание

Контрольная работа №2

1. Вторая теорема двойственности.

2. Графический метод решения целочисленного программирования.

3. Завод выпускает два вида узлов У1 и У2 для систем управления, используя для этого два вида технологических линеек Л1 и Л2. На производство одного узла вида У1 на линейке Л1 затрачивается 2 часа, на изготовление одного узла У2 затрачивается соответственно 1 час и 2 часа. Завод может использовать Л1 в течение 10 час., а Л2 – 8 час. Прибыль от реализации одного изделия У1 – 5$, а от реализации одного изделия У2 – 4$. Определить количество узлов У1 и У2, которое необходимо выпустить заводу, чтобы получить максимальную прибыль.

4. Преобразовать задачу линейного программирования к стандартной форме:

z = -3x1 + 4x2 – 2x3 + 5x4 → max

4x1 – x2 + 2x3 – x4 = -2

x1 + x2 + 3x3 – x4 ≤ 14

-2x1 + 3x2 - x3 + 2x4 ≥ 2

x1,x2 ≥ 0, x3 ≤ 0

5. Решить транспортную задачу методом северо-западного угла:

6. Вариационное исчисление. Понятие функционала.

7. Изопериметрические задачи. Привести пример.

8. Свойства двойственной функции Лагранжа.

9. Дана следующая задача оптимизации:

f(x) = (x1 – 3)2 + (x2 + 4)2 + e5x3 → min

x1 + x2 + x3 ≤ 1 

x1, x2, x3 ≥ 0

а) записать условия Куна-Таккера для данной задачи:

б) показать, что выполнение условий Куна-Таккера достаточно для осуществления оптимального решения данной задачи.

в) доказать, используя пункты (а) и (б), что точка x = [1,0,0] есть точка оптимума.

10. Решить задачу нелинейного программирования, используя основной алгоритм проекции градиента:

f(x) = (x1-1)2 + (x2 -2)2 → min

g1 = x1 – 2x2 ≥ -2

g1 = -x1 – x2 ≥ -4

g3 = x1 ≥ 0

g4 = x2 ≥ 0