1. Каким образом поставлены условия в задаче условной оптимизации?
2. Что такое линия уровня функции?
3. Напишите выражение, определяющее в алгоритме поиска минимума переход в очередную точку поиска.
4. Опишите процедуру “точного поиска” в методе “золотого сечения”.
5. Найти локальный минимум функции f(x)=x12+(x2-1)2 в направлении S: (-1, 1) из начальной точки x(0) : ( 4, 0) методом золотого сечения с параметрами 0.4 и 0.6. Пробные шаги делать с множителем h=1. Точность определения минимума равна 0.5 по каждой координате. Указать координаты начального отрезка (a,b).
6. Сделать 2 шага поиска минимума функции f(x)=x12 + 2•x22 + 3•x32 + 4•x42 симплексным методом с начальным симплексом: (0,0,0,0), (1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1) и коэффициентом деформации 2.
7. Найти минимум функции f(x) = (x1-2)2 + (x2-2)2 методом наискорейшего спуска из начальной точки x(0)=(4,1). Поиск минимума в заданном направлении сделать методом золотого сечения с параметрами 0.4 и 0.6, множителем грубого шага h=0.2 и точностью поиска 0.65. Правило останова алгоритма: каждая из компонент градиента меньше 0.25 по модулю.
8. Задана функция f(x) = (x1-2)2 + 2(x2-1)2 и начальная точка x(0)=(1, 2). Для поиска минимума используется метод сопряженных градиентов. На первом шаге получена точка x(1)=(1.5, 1). Определить сопряженное направление второго шага.
9. Задана функция f(x)=│x1│+2•│x2│. Поиск минимума её делается симплексным методом. Начальный симплекс имеет координаты вершин: (0,1),(2,1),(1,0). Минимум фиксируется в центре тяжести симплекса после его первой остановки. Определить координаты минимума.
10. Для поиска минимума функции f(x)=│2-sign(x1)│•│x1│+│x2│ используется метод наискорейшего спуска. Начальная точка x(0): (-1, -7/3). Точка минимума x•(k) в заданном направлении на k-м щаге находится как середина отрезка (a,b), найденного с грубым шагом h=1/3. Останов алгоритма поиска производится по признаку:║Δx(k)║<0.1. Найдите координаты точки в момент останова.
11. Найти условный минимум функции f(x)=x12+(x2-10)2 при ограничениях: 2•x1+3•x2≤18; 2•x1 +x2 ≥ 10. Решить аналитически.
12. Почему в методе штрафных функций нельзя сразу задать большое значение параметра штрафа C(k)?
а) первый минимум может быть не найден
б) первый шаг может вывести за область определения функции
в) исказится допустимая область
г) целевая функция станет вогнутой
д) у целевой функции образуется овраг
е) условный минимум перестанет существовать
ж) алгоритм безусловной минимизации остановится не в минимуме
13. Поиск условного минимума функции f(x)=(x1-5)2+(x2-5)2 при ограничении g(x)=5-2•x1-x2 методом квадратичного штрафа в первой итерации при С=1 дал точку (2,3). Параметр штрафа вычисляется по формуле C(k)=10k-1. Безусловный минимум находится методом простого градиента. Найти 1-е направление спуска во 2-й итерации.
14. Найти минимум функции f(x)=x2+0.25•x1-2 при ограничениях: 2•x1+3•x2 ≤ 18; 2•x1+x2 ≥ 10. В качестве начального базиса принять пару: x1 , x2.
15. Задача линейного программирования записана в стандартной форме (ограничения - равенства). Имеется n неизвестных и m уравнений - ограничений. Какие из приведенных суждений могут быть верны ?
а) решение может содержать больше одной точки
б) точка решения - вершина многогранника ограничений
в) число ненулевых значений x в решении равно m
г) число нулевых значений x в решении равно m
д) число нулевых значений x в решении равно n-m
е) mn
16. В задаче НЛП дано: f(x)=x1-x2; x2+4•x12≤16; x1≥0; x2≥0. Определить условный минимум графически и проверить условия Куна-Таккера.
17. Условный минимум функции f(x)=x2 при ограничении -x12+x2+1≥0 определяется методом квадратичного штрафа. Безусловный минимум находится методом градиента. Вычислить аналитически минимум на первой итерации при C(1)=1.
18. Условный минимум функции f(x)=x12+2•x22 при ограничении x2≥1 определяется методом множителей. Безусловный минимум находится методом наискорейшего спуска. В первой итерации при μ=1, C=1 получена точка минимума (0, 0.4). Найти первое направление поиска во второй итерации (C=2).
19. В задаче ЛП дано: найти максимум функции f(x)=x1-x2 при ограничении x1+4•x2≤4. Решить симплекс-методом и проверить графически.
20. В задаче ЛП дано: найти минимум функции f(x)=x1 +x2 при ограничении x1+4•x2 ≥4. Решить симплекс-методом и проверить графически.