8 Задач по теории вероятности и мат статистике

Задача 1.

Условие задачи:

Для сигнализации на складе установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при необходимости первое устройство сработает, составляет p1, для второго и третьего устройства эти вероятности равны соответственно p2 и p3. Найти вероятность того, что в случае необходимости сработают:

а) все устройства;

б) только одно устройство;

в) хотя бы одно устройство.

p1=75%

p2=80%

p3=95%

Задача 2.

Условие задачи:

В партии, состоящей из n одинаково упакованных изделий, смешаны изделия двух сортов, причем k из этих изделии - первого сорта, а остальные изделия - второго сорта. Найти вероятность того, что взятые наугад два изделия окажутся;

а) одного сорта;

б) разных сортов.

n=40, k=25

Задача 3.

Условие задачи:

В магазине имеются телевизоры с импортными и отечественными трубками в соотношении 2:9. Вероятность выхода из строя в течение гарантийного срока телевизора с импортной трубкой равна 0.005; с отечественной трубкой она равна 0.01.

а) Найти вероятность того, что купленный в магазине телевизор выдержит гарантийный срок.

б) Купленный телевизор выдержал гарантийный срок. Какова вероятность, что он с отечественной трубкой?

Задача 4.

Условие задачи:

Вероятность того, что в результате проверки изделию будет присвоен знак «изделие высшего качества» равна p.

1) На контроль поступило n изделий. Какова вероятность того, что знак высшего качества будет присвоен:

а) ровно m изделиям;

б) более чем k изделиям:

в) хотя бы одному изделию;

г) указать наивероятнейшее количество изделий, получивших знак высшего качества, и найти соответствующую ему вероятность.

2) . При тех же условиях найти вероятность того, что в партии из N изделий знак высшего качества получает:

а) ровно половина изделий;

б) не менее чем k1, но не более, чем k2 изделий.

n=6, p=0.2, m=3, k=4, N=28, k1=4, k2=14.

Задача 5.

Условие задачи:

В лотерее на каждые 100 билетов приходится m1 билетов с выигрышем a1 тыс. рублей, m2 билетов с выигрышем a2 тыс. рублей, m3 билетов с выигрышем a3 тыс. рублей и т.д. Остальные билеты из сотни не выигрывают.

Составить закон распределения величины выигрыша для владельца одного билета и найти его основные характеристики: математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение. Пояснить смысл указанных характеристик.

a1=14; a2=12; a3=8; a4=5; a5=1;

m1=2; m2=8; m3=15; m4=20; m5=30;

Задача 6.

Условие задачи:

Вес изготовленного серебряного изделия должен составлять a граммов.

При изготовлении возможны случайные погрешности, в результате которых вес изделия случаен, но подчинен нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением σ граммов.

Требуется найти вероятность того, что:

а) вес изделия составит от  до  граммов;

б) величина погрешности в весе не превзойдет  граммов по абсолютной величине.

a=60; σ=2; =56; =62; =6

Задача 7.

Условие задачи:

По итогам выборочных обследований для некоторой категории сотрудников величина их дневного заработка X руб. и соответствующее количество сотрудников ni, представлены в виде интервального статистического распределения.

а) Построить гистограмму относительных частот распределения.

б) Найти основные характеристики распределения выборочных данных: среднее выборочное значение, выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение.

в) Оценить генеральные характеристики но найденным выборочным характеристикам.

г) Считая, что значения признака X в генеральной совокупности подчинены нормальному закону распределения, найти доверительный интервал для оценки математического ожидания (генерального среднего значения) с надежностью , считая, что генеральная дисперсия равна исправленной выборочной дисперсии.

X 66-70 70-74 74-78 78-82 82-86 86-90

ni 7 15 22 18 5 3

Задача 8.

Условие задачи:

С целью анализа взаимного влияния прибыли предприятия и его издержек выборочно были проведены наблюдения за этими показателями в течение ряда месяцев: X - величина месячной прибыли в тыс. руб Y - месячные издержки в процентах к объему продаж.

Результаты выборки сгруппированы и представлены в виде корреляционной таблицы, где указаны, значения признаков X и Y и количество месяцев, за которые наблюдались соответствующие пары значений названных признаков.

а) По данным корреляционной таблицы найти условные средние и .

б) Оценить тесноту линейной связи между признаками X и Y.

в) Составить уравнения линейной регрессии Y по X и X по Y.

г) Сделать чертеж, нанеся на него условные средине и найденные прямые регрессии.

д) Оценить силу связи между признаками с помощью корреляционного отношения.

Y\X 20 30 40 50 60 ny

5 3 3

10 5 4 9

15 4 2 6

20 5 4 5 14

25 3 1 6 10

30 3 3

nx