Задача 1.
Построить математическую модель для исследования ускорения силы тяжести (напряженности поля тяготения) на различных расстояниях от центра Земли. Объяснить введенные допущения и упрощения. Результаты исследований представить в виде графика и сделать соответствующие выводы.
Методические указания. При моделировании использовать Закон всемирного тяготения. Учесть допущения, в рамках которых справедлив этот закон. Объяснить зависимость веса от силы притяжения. Исследовать зависимость ускорения силы тяжести для различных положений тела относительно земной поверхности. При необходимости использовать аппроксимирующие зависимости.
Задача 2.
Провести линеаризацию нелинейной зависимости. Дать рекомендации по использованию полученной формулы. Построить графики для нелинейной зависимости и аппроксимирующей ее линейной зависимости
Методические указания. Линеаризация нелинейности, содержащейся в уравнении, заключается в замене этой нелинейности приближенной линейной зависимостью. Линеаризацию можно проводить различными методами, наиболее часто для этих цели используют разложение функции в ряд Тейлора. Повторить из курса математического анализа материал о разложении в ряд Тейлора функции нескольких аргументов. При необходимости воспользоваться справочником по высшей математике. Выполнить разложение нелинейной функции в ряд Тейлора. Зафиксировав ряд аргументов, построить графики исходной и линеаризованной зависимости.
Задача 3.
Указать линейные и нелинейные динамические системы в приведенном списке ( x(t) - входной сигнал).
Методические указания. Для моделей линейных систем справедлив принцип суперпозиции. Он заключается в том, что реакция системы на любую комбинацию внешних воздействий равна сумме реакций на каждое из этих воздействий, поданных на систему порознь. Принцип суперпозиции позволяет выразить реакцию системы на произвольное воздействие через сумму реакций на элементарные воздействие, составляющие это воздействие. Для решения задачи необходимо представить произвольный входной сигнал в виде двух составляющих, найти реакцию системы на каждое входное воздействие. Если сумма реакций системы будет равняться реакции системы на исходный сигнал, то эта система является линейной.
Задача 4.
Во многих случаях можно установить взаимно-однозначное соответствие (изоморфизм) между соответствующими аксиомами, соотношениями и правилами вывода в двух системах (система оригинал и система модель), а следовательно, и между правильными зависимостями в них.. Например, умножению и делению чисел (система оригинал) можно поставить в соответствие сложение и вычитание их логарифмов (система модель).
Рассмотреть возможность использования для моделирования систем следующего преобразования F(s), где f(t) - вещественная функция времени, t - время.
Указать возможные области применения и ограничения на использование данных моделей. Дать рекомендации по их применению для решения конкретных задач.
Задача 5.
Оценить близость отношения T, задаваемое матрицей Cij к отношению упорядоченности.
Методические указания.
Предварительно построить направленный граф, соответствующий заданной матрице. При этом руководствоваться следующим правилом.
Если на пересечении i-й строки и j-го столбца матрицы отношений стоит единица (cij=1), то это значит, что из вершины i в вершину j ведет направленная стрелка.
Преобразуя изображение исходного графа (поясняя все промежуточные изменения), получить граф соответствующий отношению упорядоченности. Сравнить два графа и определить близость отношения T к отношению упорядоченности.