Задача 4. Метод анализа иерархий
Краткие теоретические сведения
Иерархия возникает тогда, когда системы, функционирующие на одном уровне, функционируют как части системы более высокого уровня, становясь подсистемами этой системы. МАИ является процедурой для иерархического представления элементов, определяющих суть проблемы. Метод состоит в декомпозиции проблемы на более простые составляющие части дальнейшей обработки последовательности суждений лица, принимающего решения по парным сравнениям. Однако МАИ включает процесс синтеза многих суждении, получения приоритетности критериев и нахождения альтернативных решений.
Этапы МАИ
1. Очертить проблему и определить общую цель.
2. Построить иерархию, начиная с вершины: цель, критерии, перечень альтернатив.
3. Построить множество матриц парных сравнений для каждого из нижних уровней по принципу: одна матрица для каждого элемента примыкающего сверху уровня. Этот элемент называется управляемым по отношению к элементу, находящемуся на нижнем уровне. Элементы любого уровня сравниваются друг с другом относительно их воздействия на управляемые элементы.
4. На этапе 3 потребуется (n(n-1))/2 суждений с учетом свойства обратной симметрии.
5. После проведения всех парных сравнений определяются max, IС, СI, RС и т.д.
6. Этапы 3, 4, 5 провести для всех уровней и групп иерархии.
7. Использовать иерархический синтез для взвешивания соб¬ственных весов. Вычислить сумму по всем соответствующим взвешенным компонентам собственных векторов уровня иерархии, лежащего ниже.
8. Определить согласованность всей иерархии, перемножив каждый индекс согласованности на приоритет соответствующего критерия; полученные числа просуммировать. Результат делится на выражение такого же типа, но со случайным индексом согласованности. Приемлемое отношение согласованности принимают до 10%. Это и есть основной инструмент сложной аналогичной системы.
Контрольный пример
Нужно произвести выбор секретаря из девушек, подавших резюме. Отбор девушек происходит по семи критериям:
1. Знание делопроизводства.
2. Внешний вид.
3. Знание английского языка.
4. Знание компьютера.
5. Умение разговаривать по телефону.
Собеседование прошли пять девушек:
1. Ольга
2. Елена
3. Светлана
4. Галина
5. Жанна
После собеседования получились следующие описания девушек:
1. Ольга
Приятная внешность. Отличное знание английского языка. Хорошее поведение. Нет навыков работы на компьютере, посредственное общение по телефону.
2. Елена
Красивая, приятная внешность, хорошее умение общаться по телефону. Незнание английского языка, нет навыков работы на компьютере, делопроизводство знает весьма плохо.
3. Светлана
Очень хорошее знание делопроизводства, хорошие навыки работы на компьютере, достаточно хорошо общается по телефону, очень исполнительная. Не очень приятная внешность, посредственное знание английского языка.
4. Галина
Достаточно хорошо знает делопроизводство, неплохие навыки работы на компьютере, по телефону общается на высоком уровне, достаточно хорошее поведение. Плохое знание английского языка, неприятная внешность.
5. Жанна
Приятная внешность, очень хорошее поведение, неплохие навыки работы на компьютере, достаточно хорошее знание английского языка. По телефону общается плохо, не знает делопроизводство.
Решение
Рассмотрим поэтапную реализацию МАИ средствами пакета MATHCAD 2002.
1. Результаты собеседования заносим в матрицы попарных сравнений.
Матрицы попарных сравнений по каждому из критериев представлены на рис. 5.1.
Рис. 5.1. Матрицы попарных сравнений
2. На основе матриц попарных сравнений получаем векторы локальных приоритетов по каждому рассматриваемому критерию оценки. Для этого необходимо произвести свертку каждой матрицы попарных сравнений в вектор, затем любым из известных способов нормировать полученные векторы и перемножить матрицы попарных сравнений на соответствующие им нормированные векторы. Ход описанного решения пред¬ставлен на рис. 5.2–5.5.
3. Составляем сводную матрицу локальных приоритетов путем последовательной записи векторов – столбцов локальных приоритетов. Сводная матрица локальных приоритетов представлена на рис. 5.6.
4. Производим свертку матрицы локальных приоритетов. Свертка матрицы локальных приоритетов контрольного примера представлена на рис. 5.7, 5.8.
5. Вектор глобальных приоритетов находим путем перемножения вектора приоритетов на сводную матрицу локальных приоритетов (рис. 5.9). Рассчитанный для контрольного примера вектор глобальных приоритетов представлен на рис. 5.10. Максимальное значение данного вектора является оптимальным решением.
6. Производим расчет отношения согласованности на каждом этапе сравнения (для матриц попарных сравнений, матрицы локальных приоритетов, векторы глобальных приоритетов). Производим анализ точности результатов, полученных с помощью МАИ.
Рис. 5.6. Сводная матрица локальных приоритетов
Рис. 5.7. Символьное представление свертки сводной матрицы локальных приоритетов
Рис. 5.8. Численное представление свертки сводной матрицы локальных приоритетов вектор приоритетов
Рис. 5.9. Символьное представление формулы получения вектора глобальных приоритетов
Рис. 5.10. Вектор глобальных приоритетов
Результаты вычислений показали, что нужно выбрать Светлану (строка № 3).
ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ
Выберите тему исследования по своему индивидуальному варианту.
Соберите описательный материал по данной теме и приведите словесное описание исследуемых вариантов вашего объекта исследования.
Произведите описание, оценку и выбор наилучшего объекта (услуги) из шести вариантов по шести критериям согласно вашему варианту, используя метод анализа иерархий (табл. 5.1).
Таблица 5.1