Нормально распределенная случайная величина
Главная → Математика → Теория вероятностей и математическая статистика
| Дисциплина | Теория вероятностей и математическая статистика |
| ВУЗ | СПГИЭУ |
Содержание
Вариант 1.
1. Фирма имеет три источника поставки комплектующих – фирмы А, В и С. На долю фирмы А приходится 50% общего объема поставок, В – 30% и С – 20%. Из практики известно, что 10% поставляемых фирмой А деталей бракованные, фирмой В – 5% и фирмой С – 6%.
1) Какова вероятность, что взятая наугад деталь была получена от фирмы А?
2) Какова вероятность, что взятая наугад и оказавшаяся бракованной деталь получена от фирмы А?
2. Накануне выборов 40% населения поддерживают «Партию квадратов», 40% - «Партию Кругов» и 20% еще не определились во мнении. Какова вероятность того, что, по крайней мере, половина из шести наудачу выбранных избирателей оказывают доверие «Партии квадратов»?
3. Имеется 8 изделий, из которых 3 дефектных. Для контроля взято наудачу 3 изделия. Случайная величина Х – число дефектных изделий в выборке.
1) Составить таблицу распределения Х.
2) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).
3) Построить график функции распределения y = F(x)
4) Найти вероятность P(0,5<X<3).
4. Фирма «Клубок ниток» производит вязальные спицы. Наиболее популярны размеры
Диаметр (мм) Точность (мм)
Номер 10 3.25 ± 0.125
Номер 11 3.00 ± 0.125
Номер 12 2.75 ± 0.125
«Клубок» производит нарезку игл из проволоки и их дальнейшую обработку. В результате чего средний диаметр заготовок становится 3.10 мм, а его среднее квадратическое отклонение 0.10 мм. Допустим, значение диаметра подчиняется закону нормального распределения. Требуется определить долю заготовок, пригодных для производства спиц №11, учитывая, что дальнейшая обработка не изменяет диаметр заготовок.
Вариант 2.
1. В центральную бухгалтерию корпорации поступили пачки накладных для проверки и обработки. 90% пачек были признаны удовлетворительными: они содержали только 1% неправильно оформленных накладных. Остальные 10% пачек накладных были признаны неудовлетворительными, так как содержали 5% неправильно оформленных накладных. Взятая наугад из пачки накладная оказалась оформленной неправильно. Учитывая это, какова вероятность того, что вся пачка накладных будет признана не соответствующей стандартам?
2. На курсах повышения квалификации бухгалтеров учат определять правильность накладной. В качестве проверки преподаватель предлагает слушателям проверить 10 накладных, 4 из которых содержат ошибки. Он берет наудачу из этих десяти три накладные и просит проверить. Какова вероятность того, что одна из них окажется ошибочной, а две других – нет? Что все три окажутся правильными?
3. Вероятность досрочно сдать экзамен на «5» для каждого из четырех сдающих студентов равна 0,6. Случайная величина Х – число студентов ( из этих четырех ), сдавших этот экзамен на «5».
1) Составить таблицу распределения Х.
2) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).
3) Построить график функции распределения y = F(x)
4) Найти вероятность P(0,5<X<3).
4. Считая, что Х – нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения , найти А, М(Х), D(X), P( ).
Вариант 3.
1. Нефтяная компания, изучив данные геологоразведки, оценивает вероятность обнаружения нефти в некотором районе как 0,3. Из предыдущего опыта подобных работ известно, что если нефть действительно должна быть обнаружена, первые пробные бурения дают положительные образцы с вероятностью 0,4. Если оказалось, что первые бурения дали отрицательный результат, какова вероятность того, что нефть, тем не менее, будет обнаружена в данном районе?
2. Число дефектов в изделии может быть любым – 1, 2, 3, 4 и т.д. По оценке компании вероятность отсутствия дефекта составляет 0,9, а вероятность наличия одного дефекта – 0,05. Какова вероятность, что в изделии не больше, чем один дефект?
3. В программе экзамена 45 вопросов, из которых студент знает 30. В билете 3 вопроса. Случайная величина Х – число вопросов билета, которые знает студент.
1) Составить таблицу распределения Х.
2) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).
3) Построить график функции распределения y = F(x)
4) Найти вероятность P(0,5<X<3).
4. Ошибка измерения высоты полета гидрометеорологического спутника относительно наземной станции подчинена нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю и средним квадратическим отклонением, равным 1 км. Ошибка принимает отрицательное значение, если измеряемая высота слишком мала и положительное значение, если измеряемая высота слишком велика. Найти вероятность того, что а) ошибка будет больше чем +0.75 км; б) значение ошибки будет заключено в пределах между + 0.10 км и + 0.60 км; в) ошибка будет меньше чем – 1.25 км.
Число дефектов в изделии может быть любым – 1, 2, 3, 4 и т.д. По оценке компании вероятность отсутствия дефекта составляет 0,9, а вероятность наличия одного дефекта – 0,05. Какова вероятность, что в изделии не больше, чем один дефект?
Вариант 4.
1. Среди студентов некоторой группы 2/5 юноши и 3/5 девушки. Половина студентов – юношей данной группы моложе 21 года, среди студенток – девушек моложе 21 года – 2/3. Чему равна вероятность того, что 1) случайно выбранный учащийся старше 21 года и 2) случайно выбранный учащийся, возраст которого меньше 21 года, - это девушка.
2. Экзамен на водительские права по правилам дорожного движения содержит 20 вопросов с тремя вариантами ответов в каждом. Для сдачи экзамена необходимо ответить правильно как минимум на 19 вопросов. Если будущий водитель выбирает ответы, полагаясь исключительно на удачу, то какова для него вероятность сдать экзамен?
3. Бросают две игральные кости. Случайная величина Х – модуль разности числа выпавших очков.
1) Составить таблицу распределения Х.
2) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).
3) Построить график функции распределения y = F(x)
4) Найти вероятность P(0,5<X<3).
4. Считая, что Х – нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения , найти А, М(Х), D(X), P( ).
Вариант 5.
1. Отдел закупок женского платья большого столичного торгового комплекса приобретает 20% своего товара у фабрики А, 30% у фабрики Б и оставшиеся 50% у разных мелких поставщиков. К концу сезона распродается 80% продукции фабрики А, 75% продукции фабрики Б и 90% продукции мелких поставщиков. Какова вероятность, что платье, оставшееся непроданным в конце сезона, было произведено на фабрике А?
2. Известно что 85% деревьев, высаживаемых фирмой «Флора-дизайн» приживается. Фирма получила заказ на озеленение внутреннего двора нового дома, в котором должна посадить 10 молодых берез. Какова вероятность того, что в течение гарантийного срока фирме придется заменить
а) три засохших саженца?
б) не более двух?
в) ни одного?
3. Зеленщик покупает персики большими партиями. Учитывая скоропортящийся характер товара, он допускает, что 15% фруктов будут подпорчены. Для проверки качества зеленщик выбирает 5 персиков. Случайная величина Х – число подпорченных фруктов среди выбранных.
1) Составить таблицу распределения Х.
2) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).
3) Построить график функции распределения y = F(x)
4) Найти вероятность того, что зеленщик купит данную партию персиков, если для этого среди выбранных 5 персиков должно быть не более двух подпорченных.
4. Средний срок службы аккумуляторной батареи мобильного телефона нового поколения 1000 часов, его среднее квадратическое отклонение ¬ 100 часов. Действует нормальный закон распределения. Найти вероятность того, что аккумуляторная батарея случайно выбранного мобильного телефона выйдет из строя а) через 1050 часов работы; б) через 750 часов; в) не ранее, чем через 850 часов, но не позднее, чем через 1150 часов.
Вариант 6.
1. Розничная сеть имеет три магазина. На долю главного магазина приходится 50% продаж, тогда как на долю двух пригородных магазинов – 30% и 20%. Процент магазинных краж для этих магазинов составляет 1%, 0,8% и 0,75% соответственно. Какова вероятность, что украденная вещь находилась в продаже в главном магазине сети?
2. Лист экзаменационного тестирования содержит 10 вопросов. На каждый вопрос предлагается 5 ответов, среди которых только один верный. Если студент выбирает ответы случайным образом, какова вероятность того, что правильными будут а) ровно половина ответов? б) не менее восьми ответов? в) не более одного?
3. Производятся независимые испытания трех приборов. Вероятности отказа для них 0,2, 0,3, 0,1 соответственно. Случайная величина Х – число отказавших приборов.
1) Составить таблицу распределения Х.
2) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).
3) Построить график функции распределения y = F(x)
4) Найти вероятность P(0,5<X<3).
4. Считая, что Х – нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения , найти А, М(Х), D(X), P(0<X<5).
Вариант 7.
1. На курсах повышения квалификации бухгалтеров учат определять правильность накладной. В качестве проверки преподаватель предлагает слушателям проверить 10 накладных, 4 из которых содержат ошибки. Он берет наугад накладную и просит проверить. При условии того, что обучающийся идентифицирует неправильную накладную с вероятностью 0.8, а правильную накладную признает ошибочной с вероятностью 0,05, чему равна вероятность того, что выбранная накладная – ошибочная.
2. Исследование ископаемых частиц пыльцы растений, найденных в разных слоях донных осадков большого озера, обычно дает информацию о типичной растительности, окружавшей озеро в то время, когда формировался данный слой. Доля частиц пыльцы хвойных деревьев в донных осадках составляет 0.6. Если на анализ поступили 10 частиц пыльцы, какова вероятность того, что а) ровно пять, б) не более двух из них окажутся принадлежащими хвойным деревьям?
3. Обрыв произошел равновероятно на одном из 5 звеньев телефонной линии. Монтер обследует их последовательно до обнаружения обрыва. Случайная величина Х – число обследованных звеньев.
1) Составить таблицу распределения Х.
2) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).
3) Построить график функции распределения y = F(x)
4) Найти вероятность P(0,5<X<3).
4. Пилорама «Стружкин и компания» производит и продает сухие доски. Наиболее популярные размеры дюймовой осиновой шлифованной доски
Длина (м) Точность (м)
Номер 4 3.25 ± 0.125
Номер 5 3.00 ± 0.125
Номер 6 2.75 ± 0.125
На пилораме сушат сырые доски, после чего шлифуют их. Средний размер поступающих сырых досок (заготовок) 3м 10см, его среднее квадратическое отклонение ¬ 10см. Допустим, длина заготовок подчиняется закону нормального распределения. Требуется определить долю заготовок, пригодных для производства досок №5, учитывая, что сушка и шлифовка не изменяют длины заготовок, и дальнейшая обработка не включает распил досок по длине.
Вариант 8.
1. В школе обучается одинаковое количество мальчиков и девочек. У восьмидесяти процентов девочек и у тридцати процентов мальчиков длинные волосы. Какова вероятность того, что случайно выбранный ученик с длинными волосами мальчик?
2. Вероятность того, что пенициллин вылечит бактериальную инфекцию определенного типа, равна 75%. В течение небольшой эпидемии терапевт назначил антибиотик 8 больным. Какова вероятность того, что по крайней мере 6 из них вылечатся?
3. Банк предполагает разместить свободные средства. Менеджер отдела инвестиций должен выбрать один из трех инвестиционных проектов: А, В или С. Финансово-аналитический отдел подготовил экспертную информацию по этим проектам. Специалисты оценили возможные размеры доходов и соответствующие им вероятности. Считая доход по проекту А случайной величиной Х, по проекту В ¬ случайной величиной У и по проекту С ¬ Z, выбрать один из трех проектов, обосновать выбор с точки зрения ожидаемого дохода и рискованности инвестиции. Для выбранного проекта
1) Построить график функции распределения y = F(x) соответствующей случайной величины.
2) Найти вероятность того, что инвестиция окажется убыточной или не принесет никакого дохода.
Х -500 -200 100 400 700
р 0.1 0.25 0.3 0.25 0.1
У -100 0 100 200 300
р 0.1 0.25 0.3 0.25 0.1
Z -500 -200 100 400 700
р 0.01 0.025 0.93 0.025 0.01
4. Считая, что Х – нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения , найти А, М(Х), D(X), P( ).
Вариант 9.
1. Предприниматель производит одинаковые детали на двух производственных линиях. Две пятых продукции сходит со старой линии, при этом 10% выпуска признается браком. Остальные три пятых продукции производятся на новейшей линии, для которой процент брака равен лишь 4%. Какова вероятность того, что оказавшаяся бракованной деталь была выпущена на старой производственной линии?
2. Известно, что 60% щенков собак определенной породы имеют черные глаза. Цвет глаз одного щенка не зависит от цвета глаз другого. Какова вероятность того, что в помете из девяти щенков по крайней мере одна треть будет иметь черные глаза?
3. Студенты Артемов и Белов стоят в очереди в раздевалку. Всего в очереди 6 человек. Случайная величина Х – число студентов, стоящих между ними.
1) Составить таблицу распределения Х.
2) Найти математическое ожидание M(X) и дисперсию D(Х).
3) Построить график функции распределения y = F(x)
4) Найти вероятность P(0,5<X<3).
4. Считая, что Х – нормально распределенная случайная величина, которая задается функцией плотности распределения , найти А, М(Х), D(X), P(-10<X<3).
Вариант 10
1. Фирма собирается выпускать новый товар на рынок. Подсчитано, что вероятность хорошего сбыта продукции равна 0.6; плохого 0.4. Компания собирается провести маркетинговое исследование, вероятность правильности которого 0.8. Как изменятся первоначальные вероятности уровня реализации, если это исследование предскажет плохой сбыт?
2. Испорченный консервный аппарат неправильно запечатывает банку крышкой в одном случае из шести. Если инспектор выберет случайным образом 2 банки вышедшие из этого испорченного аппарата для проверки, какова вероятность, что поломка останется незамеченной? Если выбраны для проверки 4 банки, какова вероятность того, что по крайней мере 2 из них будут иметь плохие крышки?
3. Частный предприниматель сдает в наем 4 автомобиля. Средний спрос в будний день составляет 2 автомобиля. В году 312 будних дней. Определить вид распределения случайной величины Х – числа автомобилей, востребованных в течение буднего дня. Найти математическое ожидание и дисперсию Х. Построить график функции распределения y=F(x) для значений х≤5. Найти число будних дней, в течение которых спрос превысит предложение (дробное число округлить в большую сторону).
4. На автозаправочной станции показания автомата округляются до ближайшего целого числа литров бензина. Считая ошибку округления распределенной равномерно, найти математическое ожидание и дисперсию ошибки показания автомата. Найти вероятность того, что очередной клиент недополучит от 0,1 л до 0,3 л бензина.