Задача 1. (Финансовые потоки)
Банк А выдал кредит в сумме X условных единиц на 1 год под Y процентов годовых на условиях ежемесячного частичного погашения. При расчете плана погашения кредита используется следующая методика.
а) Заемщик гасит долг через равные промежутки времени («месяцы»).
б) С использованием правила аннуитета (принципа равенства всех ежемесячных платежей) рассчитывается точное значение суммы P ежемесячного платежа,
в) С целью обеспечения точности финансовых расчетов:
- расчетное значение P суммы ежемесячного платежа округляется до двух цифр после запятой в большую сторону и принимается в качестве i-ой плановой суммы ежемесячного платежа Pi (1<= i <= 11). С помощью последней выплаты P12 исправляются ошибки округления, если они возникли.
- i-ый остаток основного долга Di (2 <= i <= 12) и сумма начисляемых на него процентов Пi (1 <= i <= 12) вычисляются по округленному значению (i-1)-го остатка основного долга Di-1 и округляются до двух цифр после запятой.
Задания:
1.1. Составить план погашения кредита, т.е. продолжить Таблицу 1, и найти общую сумму уплаченных процентов I = (Pi-Qi).
1.2. Изменить данный план погашения задолженности с учетом следующего пожелания заемщика: первые два месяца заемщик выплачивает только проценты основного долга.
Найти в этом случае общую сумму уплаченных процентов.
1.3. Какую сумму должен был бы разместить банк, чтобы получить тот же доход, что и в пункте 1.1. (т.е. общую сумму уплаченных процентов I = ) за тот же период кредитования (1 год) по той же номинальной ставке Y процентов годовых на условиях:
а) наращения по простым процентам (основной долг выплачивается в конце периода кредитования, а проценты ежемесячно),
б) наращения по сложным процентам 6 раз в году через равные промежутки времени (основной долг и проценты выплачиваются в конце периода кредитования).
1.4. По какой номинальной ставке должен был бы разместить банк ту же сумму X, чтобы получить тот же доход, что и в пункте 1.1. (т.е. общую сумму уплаченных процентов I = Pi-Qi) за тот же период кредитования (1 год) на условиях:
а) наращения по простым процентам (основной долг выплачивается в конце периода кредитования, а проценты ежемесячно),
б) наращения по сложным процентам 6 раз в году через равные промежутки времени (основной долг и проценты выплачиваются в конце периода кредитования).
1.5. За какой период заемщик мог бы погасить равными ежемесячными платежами сумму 5X, если начисление процентов происходит правилу аннуитета по той же процентной ставке Y, и сумма ежемесячного платежа та же?
Найти общую сумму процентов, которые он должен будет в этом случае уплатить банку.
Для простоты расчетов считать размер ежемесячного платежа строго равными числу P, округленному до второго знака после запятой.
Задача 2.(Банковская криптография)
Используя систему шифрования RSA:
1. Закодировать четырехзначное число x, на которое заканчивается номер зачетной книжки*, т.е. вычислить приведенный вычет y, где
m - простые числа, не делится ни на p , ни на q,
e взаимно просто с ф(m), ф(m) - функция Эйлера.
Числа e,p и q выбрать самостоятельно.
2. Для выбранных простых чисел e,p и q вычислить секретный ключ, т.е. приведенный вычет d, и произвести контрольную дешифровку информации, т.е. найти приведенный вычет y^d.
Задача 3. (Биномиальные модели ценообразования активов.)
Текущая цена актива составляет S0 рублей. За один период цена актива может увеличиться на a% или уменьшиться на b%. Безрисковая годовая ставка составляет r% годовых. Найти:
1) количество (м.б. дробное) опционов, обеспечивающее безрисковость портфеля,
2) премию за европейский опцион «колл» на этот актив со сроком исполнения через 1 период и ценой исполнения рублей.
3) Рассмотреть данную задачу как многопериодную с числом периодов 360, считая, что a - максимальный, а b - минимальный возможный процент повышения цены актива за 360 периодов. Найти премию за европейский опцион «колл» на этот актив со сроком исполнения через 360 периодов.
Данные взять из таблицы вариантов.
Задача 4. (Оптимизация портфеля)
Произвести оптимизацию портфеля из трех видов ценных бумаг, эффективности которых являются некоррелированными случайными величинами с математическими ожиданиями М1, М2, М3 и среднеквадратическими отклонениями s1, s2,s3 соответственно при условии, что математическое ожидание сформированного портфеля равно mp. Доли капитала на каждую ценную бумагу неотрицательны.