Сигнатура булевой алгебры множеств

Содержание

Задание 1.
Вопрос 1. Пусть А, В - множества. Что означает запись  A(=B, B(=A?
Вопрос 2. Пусть А - непустое множество всех учеников школы  , В - множество учеников пятых классов этой школы, С - множество учеников седьмых классов этой школы. Какая из записей выражает ложное утверждение? (Скобки здесь, как и в арифметических выражениях, задают порядок действий).
Вопрос 3. Какое из утверждений не всегда (не для любых множеств А, В, С) является верным?
Вопрос 4. Пусть N - множество дней недели, а N - множество дней в январе. Какова мощность множества  NxN?
Вопрос 5. Рассмотрим множество показаний часов     Что можно утверждать относительно элемента а множества?.
Задание 2
Вопрос 1. Рассмотрим соответствие G между множествами А и В  . В каком случае соответствие называется всюду определенным?
Вопрос 2. Допустим, что существует взаимно-однозначное соответствие G между множествами А и В. Что можно сказать об их мощностях?
Вопрос 3. Какая функция не является суперпозицией функций.
Вопрос 4. Рассмотрим бинарное отношение R на множестве М. Что можно утверждать об R, если это отношение транзитивно?
Вопрос 5. Каким свойством не обладает отношение нестрогого порядка R?
Задание 3
Вопрос 1. Какова сигнатура булевой алгебры множеств?
Вопрос 2. Какая операция не является ассоциативной?
Вопрос 3. Рассмотрим алгебру   и алгебру  . В каком случае можно утверждать, что  ?
Вопрос 4. Какая операция является обязательным атрибутом полугруппы?
Вопрос 5. Чем является полугруппа  ?  
Задание 4
Вопрос 1. Какое из чисел является совершенным?
Вопрос 2. Какое из чисел не является треугольным?
Вопрос 3. Чему равно число сочетаний из пяти по три  ?
Вопрос 4. Какая из формул, содержащих число сочетаний, не верна?
Вопрос 5. Предположим, что мы много раз бросаем пару игральных костей (кубиков с цифрами от 1 до 6 на гранях) и суммируем две выпавшие при каждом бросании цифры. Какую из перечисленных ниже сумм мы будем получать чаще других?
Задание 5
Вопрос 1. Каким был первый наиболее важный шаг в расшифровке клинописных надписей, сделанный Мюнтером и Гротефендом?
Вопрос 2. Сколько всего разных пар можно составить из 4-х букв? (Сколько различных двухзначных чисел можно образовать, используя только цифры 1, 2, 3, 4 ?)
Вопрос 3. Какому условию удовлетворяют все вырожденные коды?
Вопрос 4. Какое высказывание не соответствует коду ДНК?
Вопрос 5. Какую важнейшую комбинаторную задачу решил 17 февраля 1869 г. Дмитрий Иванович Менделеев?
Задание 6
Вопрос 1. Какое условие (предположение) характерно для всех комбинаторных задач?
Вопрос 2. Как быстрее решить задачу поиска (построения) магического квадрата третьего порядка, без использования компьютера?
Вопрос 3. Сколько всего существует способов расположения чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 в виде магического квадрата? (магический квадрат - матрица, сумма элементов которой по каждому столбцу, строке и диагонали одна и та же)
Вопрос 4. Сколько способов (вариантов) расстановки восьми ферзей на шахматной доске так, чтобы ни один из них не мог взять другого, существует?
Вопрос 5. Какое максимальное число коней, не бьющих друг друга, можно расставить на шахматной доске?
Задание 7
Вопрос 1. Для какого числа n не может быть построена пара ортогональных квадратов?
Вопрос 2. Что называют блок-схемой в комбинаторике?
Вопрос 3. Как формулируется принцип Дирихле?
Вопрос 4. При попарном соединении какого числа точек отрезками двух цветов нельзя гарантировать, что найдутся три точки, являющиеся вершинами одноцветного треугольника?
Вопрос 5. Как можно сформулировать теорему Ф. Холла о деревенских свадьбах?
Задание 8
Вопрос 1. Сколько существует двухзначных чисел, не содержащих цифры 0 и 1 ?
Вопрос 2. Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно (пользуясь только одним словарем) выполнять переводы с любого из пяти языков (например, русского, французского, немецкого, итальянского, английского) на любой другой из этих пяти?
Вопрос 3. Каково число размещений с повторениями из n по k?
Вопрос 4. Сколько всего разных символов (букв, цифр, знаков препинания ... ) можно закодировать (представить) кортежами из точек и тире, имеющими длину от 1 до 5 ?
Вопрос 5. Сколько всего кортежей вида   можно образовать, если в качестве     может быть взят любой из элементов множества  , мощность которого равна  ?
Задание 9
Вопрос 1. Сколько размещений без повторений из 10 элементов по 3 существует?
Вопрос 2. Сколькими способами можно поставить две ладьи разных цветов на шахматной доске (88) так, чтобы они не били друг друга?
Вопрос 3. Сколько разных кортежей букв длины 7, можно образовать перестановкой букв в слове “сколько”?
Вопрос 4. Допустим, что для посадки нам требуется 9 деревьев, а в магазине есть саженцы деревьев пяти сортов (пород). Из скольких вариантов (составов) покупки 9 деревьев нам придется выбирать?
Вопрос 5. Сколько подмножеств, содержащих m элементов, у множества мощности k  ?
Задание 10
Вопрос 1. Какая из формул не является верной для любых натуральных чисел k, n, удовлетворяющих условию?
Вопрос 2. При каком условии формула перекрытий принимает вид  ?
Вопрос 3. Рассмотрим передачу двоичных кодовых сообщений фиксированной длины. При каком условии можно правильно восстановить сообщение, если известно, что ошибка допущена в одном разряде?
Вопрос 4. Что означает запись   в формуле перекрытий?
Вопрос 5. В студенческой группе всего 45 студентов. Из них в футбольной секции занимаются 31 человек, в шахматной – 28, в баскетбольной – 30. Одновременно в футбольной и шахматной секциях занимаются 20 студентов этой группы, в баскетбольной и футбольной – 22 студента, в шахматной и баскетбольной – 18 студентов. Кроме того известно, что 12 студентов этой группы занимаются одновременно в трех упомянутых секциях. Сколько студентов группы не занимается ни в одной из упомянутых секций?
Задание 11
Вопрос 1. Укажите математическую модель для задачи:
Кондитерская фабрика для производства трех видов карамели А, В и С использует три вида основного сырья: сахарный песок, патоку и фруктовое пюре. Нормы расхода сырья каждого вида на производства 1 т карамели данного вида приведены в таблице. В ней же указано общее количество сырья каждого вида, которое может быть использовано фабрикой, а также приведена прибыль от реализации 1 т карамели данного вида.
Найти план производства карамели, обеспечивающий максимальную прибыль от ее реализации.
Вопрос 2. Укажите математическую модель для задачи:
При откорме животных каждое животное ежедневно должно получать не менее 60 единиц питательного вещества А, не менее 50 единиц вещества В и не менее 12 единиц вещества С. Указанные питательные вещества содержат три вида корма. Содержание единиц питательных веществ в 1 кг каждого из видов корма приведено в следующей таблице.
Составить дневной рацион, обеспечивающий получение необходимого количества питательных веществ при минимальных денежных затратах, если цена 1 кг корма I вида составляет 9 копеек, корма II вида – 12 копеек и корма III вида – 10 копеек.
Вопрос 3. Укажите математическую модель для задачи:
В трех пунктах отправления сосредоточен однородный груз в количествах 420, 380, 400 т. Этот груз необходимо перевезти в три пункта назначения в количествах, соответственно равных 260, 520, 420 т. Стоимости перевозок 1 т груза из каждого пункта отправления в каждый пункт назначения известны, и задаются матрицей (в условных единицах).
Найти план перевозок, обеспечивающий вывоз имеющегося в пунктах отправления и завоз необходимого в пункты назначения груза при минимальной общей стоимости перевозок.
Вопрос 4. Укажите неэквивалентную форму записи для задачи.
Вопрос 5. Укажите стандартную форму записи для задачи.
Задание 12
Вопрос 1. На каком из рисунков дана верная геометрическая интерпретация решения задачи линейного программирования, обеспечивающего максимум целевой функции F.
Вопрос 2. На каком из рисунков дана верная геометрическая интерпретация решения задачи линейного программирования, обеспечивающего минимум целевой функции F.
Вопрос 3. Указать эквивалентную форму записи задачи, допускающую геометрическую интерпретацию решений в виде многоугольника.
Вопрос 4. Используя геометрическую интерпретацию, найдите решение задачи.
Вопрос 5. Используя геометрическую интерпретацию, найдите решение задачи: 
Задание 13
Вопрос 1. Указать максимальное значение целевой функции для задачи.
Вопрос 2. Указать решение задачи. 
Вопрос 3. Указать решение задачи.
Вопрос 4. Указать решение задачи. 
Вопрос 5. Указать решение задачи.
Задание 14
Вопрос 1. Какая из задач является двойственной по отношению к задаче.  
Вопрос 2. Какая из задач является двойственной по отношению к задаче.
Вопрос 3. Какая из задач является двойственной по отношению к задаче.
Вопрос 4. Исходная задача линейного программирования имеет оптимальный план со значением целевой функции  .
Какое из чисел является значением целевой функции   двойственной задачи?
Вопрос 5. Геометрическая интерпретация решения исходной задачи линейного программирования, состоящей в максимизации целевой функции, приведена на рисунке.
Укажите решение двойственной задачи линейного программирования.
Задание 15
Вопрос 1. Используя двойственный симплекс метод, найдите решение задачи: 
Вопрос 2. Используя двойственный симплекс метод, найдите решение задачи: 
Вопрос 3. Используя двойственный симплекс метод, найдите решение задачи.
Вопрос 4. Укажите математическую модель для транспортной задачи.
На трех складах оптовой базы сосредоточен однородный груз в количествах 160, 60, 80 единиц. Этот груз необходимо перевезти в четыре магазина. Каждый из магазинов должен получить соответственно 120, 40, 60 и 80 единиц груза. Тарифы перевозок единицы груза из каждого из складов во все магазины задаются матрицей/ 
Составить такой план перевозок, при котором общая стоимость перевозок является минимальной.
Задание 16
Вопрос 1. Укажите решение задачи целочисленного линейного программирования, обеспечивающее максимальное значение целевой функции. Геометрическая интерпретация задачи приведена на рисунке.
Вопрос 2. Используя геометрическую интерпретацию задачи целочисленного линейного программирования, укажите решение задачи.
Вопрос 3. Используя геометрическую интерпретацию задачи целочисленного линейного программирования, укажите решение задачи.
Вопрос 4. Используя метод Гомори, выберите максимальное значение целевой функции.
Вопрос 5. Выбрать математическую модель для решения задачи:
В аэропорту для перевозки пассажиров по n маршрутов может быть использовано m типов самолетов. Вместимость самолета i-го типа равна   человек, а количество пассажиров, перевозимых по j-му маршруту за сезон, составляет   человек. Затраты, связанные с использованием самолета i-го типа на j-м маршруте, составляют   руб.
Определить для каждого типа самолетов, сколько рейсов и на каком маршруте должно быть сделано, чтобы потребность в перевозках была удовлетворена при наименьших общих затратах.
Задание 17
Вопрос 1. Используя метод геометрической интерпретации, укажите максимальное значение функции: 
   при условиях   
Вопрос 2. Используя метод геометрической интерпретации, укажите максимальное значение функции:  
   при условиях   
Вопрос 3. Укажите математическую модель для задачи:
Между n предприятиями отрасли необходимо распределить выпуск некоторой однородной продукции. Затраты, связанные с производством   единиц продукции на j-м предприятии, зависят от объема производства и определяются функциями  . Зная, что продукции должно быть изготовлено не менее b единиц, составить такой план производства продукции предприятиями отрасли, при котором общие затраты, связанные с ее производством, минимальны.
Вопрос 4. Используя метод множителей Лагранжа, укажите экстремум функции.
Вопрос 5. Используя метод множителей Лагранжа, укажите экстремум функции.
Задание 18
Вопрос 1. Укажите формулировку задачи в терминах общей задачи динамического программирования.
Вопрос 2. К какому типу задач относится задача вида, при условиях.
Вопрос 3. Укажите выражение, представляющее основное функциональное уравнение Беллмана или рекуррентное соотношение:
Вопрос 4. Как получить оптимальную стратегию управления методом динамического программирования?
Вопрос 5. Какая формулировка является формулировкой в терминах динамического программирования для задачи:
В состав производственного объединения входят два предприятия, связанные между собой кооперативными поставками. Вкладывая дополнительные средства в целях развития этих предприятий, можно улучшить технико-экономические показатели деятельности производственного объединения в целом, обеспечив тем самым получение дополнительной прибыли. Величина этой прибыли зависит от того, сколько выделяется средств каждому предприятию и как эти средства используются. Считая, что на развитие i-го предприятия в начале k-го года выделяется   тыс. руб., найти такой вариант распределения средств между предприятиями в течении N лет, при котором обеспечивается получение за данный период времени максимальной прибыли.