Вопросы и ответы

Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Стрелок сделал два выстрела, а затем бросил симметричную монету столько раз, сколько попал в мишень. Какова вероятность, что в результате выпал ровно один "орел"?
Решение.
Здесь в качестве гипотез рассмотрим события Н1 = {произошло два попадания}, H2 = {произошло одно попадание}, H3 = {произошло два промаха}. Их вероятности Р( Н1 ) = 0,82 = 0,64, Р( Н2 ) = 2 • (1 ? 0,8) • 0,8 = 0,32 (множитель 2 здесь из-за того, что гипотеза содержит два равновероятных события: “попал - промахнулся” и “промахнулся - попал” ? это формула Бернулли при р = 0,8, q = 0,2 , n = 2 , k = 1), Р(Н3) = (1 ? 0,8)2 = 0,04 . Сумма вероятностей этих гипотез равна 1, как и должно быть для полной группы. Далее рассмотрим событие А = {выпал ровно один “орел”}. Если произошло событие Н1, то монета бросается дважды. Вероятность того, что при этом выпадет ровно 1 “орел”, равна Р( А/ H1 ) = 0,5 ( либо “орел - решка” с вероятностью 0,25 , либо “решка - орел” также с вероятностью 0,25 ). Если произошло событие Н2, то монета бросается один раз и вероятность выпадения при этом одного “орла” равна Р( А/H2 ) = 0,5 . Если же происходит событие Н3, то монету не бросают и Р(А/H3)= 0. Все данные для формулы полной вероятности получены. Следовательно,
Р(А) = Р( Н1 )Р( А/H1 ) + P( H2 )P( A/H2 ) + P( H3 )P( A/H3 ) = 0,48.

Из 34 экзаменационных билетов студент выбирает один за другим (без
возвращения) два билета. Найти вероятность того, что он знает оба билета, если он выучил 15 билетов. Знает один, а другой нет.
Решение.
а) вытащил два билета, которые знает: P1 = 15/34*14/33 = 35/187 = 0.1872
здесь 15/34 - вероятность, что первый билет он знает, 14/33 - вероятность, что второй билет он знает
Поскольку билеты не возвращаются, то когда студент вытаскивает второй билет, их количество уже 33.
б) знает один, а другой нет: P2 = 15/34*(33-14)/33 + (34-15)/34*15/33 = 95/187 = 0.508
здесь (33-14)/33 - вероятность того, что он не знает билет

Вероятность хотя бы одного промаха при двух выстрелах равна 5/9. Найти вероятность пяти промахов при девяти выстрелах.
Решение.
Рассмотрим полную группу событий:
P(0) – нет промахов (два попадания)
P(1)  - вероятность одного промаха
P(2)  - вероятность двух промахов
P(0) + P(1) + P(2) = 1
Поскольку вероятность хотя бы одного промаха при двух выстрелах равна 5/9, то P(1) + P(2) = 5/9
P(0) + 5/9 = 1
P(0) = 1-5/9 = 4/9 – вероятность попадания при двух выстрелах.
P(1)  = 5/9-P(2) – вероятность одного промаха
По формуле Бернулли находим:
P₉(5) = 9!/5!(9-5)!*( 5/9-P(2))⁵(1-5/9+P(2))^9-5 =  9!/5!4!*( 5/9-P(2))⁵(4/9+P(2))⁴ = 9!/5!4!*( 5/9-P(2))⁵(4/9+P(2))⁴ = 126*(5/9-P(2))⁵(4/9+P(2))⁴
где (4/9+P(2))⁴ = (4/9+P(2))²(4/9+P(2))²
(4/9+P(2))² = 4/9 – вероятность попадания при двух выстрелах
Решая  (4/9+P(2))² = 4/9, находим:
16/81+8/9P(2)+P(2)² – 4/9 = 0, откуда P(2) = 2/9
P₉(5) =126*(5/9-2/9)⁵*4/9*4/9 = 224/2187 = 0.10242

Из урны с 3 мя белыми и 2 мя черными шары вытаскиваются по одному до появления черного,найдите вероятность,что из урны будет вытащено 3 шара? 5 шаров?
Решение.
1) вероятность,что из урны будет вытащено 3 шара (т.е. третий шар будет черным, а первые два- белыми).
P=3/5*2/4*2/3=1/5
2) вероятность,что из урны будет вытащено 5 шаров
такая ситуация не возможна, т.к. всего 3 белых шара.
P = 0