Классический метод минимизации

Дисциплина Математическое моделирование

Заказчик	neo89 ☆ 0 ✍ 1 ♥ 0
Вид работы	Контрольная
Срок	25.01.2017
Вариант	4
Бюджет	500 ₽

Указание. Решение задач должно быть оформлено аккуратно и содержать все промежуточные расчеты. В качестве образца можно взять примеры, рассмотренные в соответствующих разделах методических указаний. 
Задание 1. Используя классический метод минимизации, найдите глобальный минимум функции f(x) = a1x3 + a2x + a3на отрезке [-2, 2].
Варианты заданий коэффициентов функций f(x) приведены в таблице.
  

Номер
варианта

a1

a2

a3

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

1
2
3
4
2
3
1
3
4
1

-1
-2
-2
-1
-4
-3
-3
-4
-3
-2

1
3
2
2
3
2
4
2
1
4

 
Задание 2. Для функции из предыдущего задания f(x) = a1x3 + a2x + a3 задайте отрезок [0, 1], содержащий точку локального минимума и найдите на этом отрезке точку минимума с точностью e=0.1 следующим методом:  

Номер
варианта

Метод

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Фибоначчи
Поразрядного поиска
Деления отрезка пополам (метод дихотомии)
Золотого сечения
Фибоначчи
Поразрядного поиска
Деления отрезка пополам (метод дихотомии)
Золотого сечения 
Фибоначчи
Золотого сечения 

 
Задание 3. Составьте математическую модель задачи линейного программирования (решение искать не надо)
Вариант 1
Имеется два вида корма «SAQ1» и «SAQ2», содержащие питательные вещества: белки, жиры, углеводы. Содержание числа единиц питательных веществ в 1 кг каждого вида корма и необходимый минимум питательных вещест, а также их стоимость представлены в таблице: 

Вид питательного вещества
(витамина)

Число единиц питательных веществ в 1 кг

Необходимый минимум питательных веществ

«SAQ1»

«SAQ2»

Белки

3

1

9

Жиры

1

2

8

Углеводы

1

6

12

Стоимость 1 кг корма: (руб)

4

6

 

Необходимо составить дневной рацион, имеющий минимальную стоимость, в котором содержание каждого вида питательных веществ было бы не менее установленного предела.
 
Вариант 2
Бумажный комбинат выполнил план производства бумаги разных видов: типографской, писчей и обложечной и сберег сырье. Остались неиспользованными 50 т целлюлозы, 80 т древесной массы, и 2 т каолина. В таблице указаны нормы расхода (кг) целлюлозы, древесной массы, и каолина для производства 1т бумаги каждого вида и прибыль от реализации 1т бумаги разных видов. 

Вид бумаги

Расход сырья на 1т бумаги
целлюлоза    древесн.масса    каолин

Прибыль (т.руб.)

типографская
обложечная 
писчая

206           829           20
424           627           10
510           518           12

5
6
8

Сколько каждого вида бумаги нужно изготовить из сбереженного сырья, чтобы прибыль была наибольшей?
 
Вариант 3
Витамины А,В, и С, которых требуется в день 6, 8 и 2 единицы соответственно, содержаться в двух видах продуктов. Стоимость первого продукта 5 руб/кг, второго — 2 руб/кг. Первый продукт содержит в одном килограмме 2 единицы витамина А, 4 единицы витамина В и 2 единицы витамина С; второй продукт - 2,3,0 единиц соответственно. Требуется поставить задачу составления пищевого рациона минимальной стоимости.
 
Вариант 4
Предприятие располагает запасами сырья трех видов: 1, 2, и 3. Из этого сырья можно изготовить два типа продукции: А и В. Известны количество сырья каждого вида, идущего на производство каждого типа продукции, запасы сырья и доход от реализации единицы каждого типа продукции. Данные представлены в таблице. Составить план выпуска продукции, при котором доход от реализации максимален. 

Вид сырья

Расход сырья на ед. продукции
А          В   

Запас сырья

1
2
3

3           1
2           2
0           2

21
30
16

Доход

3           2

 

 
Вариант 5
Для производства двух типов продукции предприятие использует четыре вида оборудования в количестве, указанном в таблице. Прибыль на единицу оборудования также указана в таблице. Определить план выпуска продукции , максимизирующий общую прибыль. 

Группа
оборудования

Кол-во оборудования по типам продукции изделий
тип 1      тип 2 

Общее количество ресурсов

A
B
C
D

2           2
1           2
4           0
-           4

12
8
16
12

Прибыль

  2            4

 

 
Вариант 6
Предприятие выпускает три вида продукции, выполняя при этом две технологических операции: изготовление и упаковку. В таблице указаны затраты времени на единицу продукции каждого вида, фонд рабочего времени, которым располагают в плановый период участки изготовления и упаковки, а также доход предприятия от производства единицы продукции каждого вида.
Определить план выпуска продукции каждого вида, максимизирующий суммарный доход предприятия. 

Технологическая
операция

Затраты времени на изготовление единицы продукции, час.
1-го вида    2-го вида       3-го вида

Фонд времени
 

Изготовление
Упаковка

    1          1             1
    1          2             0

3
4

Доход, т. руб.

    6          4             8 

 

 
Вариант 7
Трикотажная фабрика использует для производства свитеров и кофт чистую шерсть, силон и нитрон, запасы которых соответственно составляют 500, 400 и 300 кг. Количество пряжи каждого вида, необходимое для изготовления десяти изделий, а также прибыль, получаемая от их реализации, приведена в таблице. 

Вид сырья

Расход сырья на 10 шт.
Свитера   Кофты

Шерсть
Силон
Нитрон

4           2
2           1
1           1

Прибыль

6           5

Определить план выпуска изделий каждого вида, максимизирующий прибыль.
 
Вариант 8
На кондитерской фабрике для производства карамели трех видов используют сахарный песок, патоку и фруктовое пюре. Запасы сырья, расход сырья на 1 т карамели, а также прибыль (в руб.) указаны в таблице. 

Вид сырья

Расход сырья на 1т карамели
№1    №2     №3  

Запас сырья

Сахарный песок
Патока
Фруктовое пюре

0,6     0,5     0,4
0,4     0,2     0.3
  -     0,3     0.4

600
240
120

Доход

140    150     130

 

Составить план выпуска карамели, при котором доход от реализации максимален.
 
Вариант 9
На складе сырья имеется четыре вида сырья: С1, С2, С3 и С4. Из этого сырья предприятие изготавливает три вида продукции: П1, П2 и П3. Известны нормы затрат сырья каждого вида, идущего на производство каждого вида продукции, запасы сырья и оптовая цена каждого вида продукции. Данные представлены в таблице. Составить план выпуска продукции, при котором доход от реализации максимален. 

Вид сырья

Расход сырья на продукцию
П1,   П2    П3  

Запас сырья

С1
С2
С3
С4

2     3     1
3     2     2
1     0     0
0     1     0

60
40
30
10

Доход

35    50    10

 

 
 
Задание 4. Решите графически следующие задачи линейного программирования 

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

Вариант 5

2x1+5x2® max;
x1+x2£ 500;
x1£ 400;
x2£ 300;
x1, x2 ³ 0.

2x1+3x2® min;
2x1+2x2£ 9;
x1+ x2£ 5;
x1+2x2£ 7;
x1, x2 ³ 0.

2x1+3x2® max;
x1+ 2x2³ 4;
2x1– 3x2³ –9;
5x1+3x2£ 30;
x1, x2 ³ 0.

–2x1+4x2® min;
x1+ x2 £ 5;
x1 – 3x2 £ 1;
– x1+ x2£ 2;
x1, x2 ³ 0.

4x1+x2® min;
3x1+x2 £ 3;
4x1 + 3x2³ 6;
x1+ 2x2£ 4;
x1, x2 ³ 0.

Вариант 6

Вариант 7

Вариант 8

Вариант 9

Вариант 10

x1+2x2®max;
x1+ 2x2£ 6;
2x1 + x2£ 8;
x2£ 2;
x1, x2 ³ 0.

x1+3x2® min;
2x1+ x2³ 4;
x1– x2£ –1;
3x1– x2 ³ – 3;
x1, x2 ³ 0.

3x1+2x2® max;
– 3x1+2x2 £ 6;
2x1– 5x2³ – 20;
6x1+x2£ 36;
x1, x2 ³ 0.

x1+5x2® min;
2x1+ 3x2³ 4;
x1– 2x2£ 1;
– 2x1 + x2 £ 2;
x1, x2 ³ 0.

–2x1+x2® min;
2x1+ 3x2 ³ 6;
3x1 – 2x2 £ 12;
– x1+ 2x2£ 8;
x1, x2 ³ 0.

 
Задание 5. Решите следующие задачи линейного программирования симплекс-методом 

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

2x1+x2+5x3+x4®max;
x1+3x2+2x3+x4 =4;
–2x1+x2–3x3+x5 =3;
x1, x2 x3,x4,x5 ³ 0.

x1+5x2+3x3+x4®max
x1+2x2–x4+3x5 =12;
x2+x3+2x4–x5 =1;
x1, x2 x3,x4,x5 ³ 0.

x1+2x3–x4+x5®max;
x1–2x3+x4+4x5 =2;
x2+x3+3x4–x5 =3;
x1, x2 x3,x4,x5 ³ 0.

3x1–x2+2x3–x4®max;
x1+2x2+x3–x5 = 1;
2x1–x2+x4+x5 =5;
x1, x2 x3,x4,x5 ³ 0.

Вариант 5

Вариант 6

Вариант 7

Вариант 8

3x1–x2–2x3+6x4–x5®max;
x1–2x3+6x4–x5 = 2;
x2+x3–x4+2x5 =3;
x1, x2 x3,x4,x5 ³ 0.

x1–2x2+x3+2x4®max
x1+3x2+2x4+x5 =2;
x2+x3–3x4–2x5 =4;
x1, x2 x3,x4,x5 ³ 0.

2x1+x2+x4+4x5®max
2x1+x2+2x4+x5 =2;
x1–2x2+x3+2x5 =4;
x1, x2 x3,x4,x5 ³ 0.

2x1+x2+5x3+x4®max;
x1+3x2+2x3+x4 =4;
–2x1+x2–3x3+x5 =3;
x1, x2 x3,x4,x5 ³ 0.

Вариант 9

Вариант 10

x1+5x2+3x3+x4®max
x1+2x2–x4+3x5 =12;
x2+x3+2x4–x5 =1;
x1, x2 x3,x4,x5 ³ 0.

x1+2x3–x4+x5®max;
x1–2x3+x4+4x5 =2;
x2+x3+3x4–x5 =3;
x1, x2 x3,x4,x5 ³ 0.