Математические методы в экономике

Дисциплина Математические методы исследования экономики

Вид работы	Лабораторная
ВУЗ	ИММиФ
Дата	13.11.2016
Преподаватель	Моисеев С.И.
Вариант	3

Лабораторные работы № 1-2
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ НА ЭВМ
Цель:  научится  методам  решения  задач  линейного  программирования  на  ЭВМ,  рассмотреть  основные  типы  задач  – определение
оптимального  ассортимента  продукции,  задача  составления  смеси, 
транспортная задача, задача о назначении.

Задание  1.  Решить  самостоятельно  поставленную  ЗЛП  и проанализировать результаты. 
Отчет  должен  содержать  математическую  модель,  значения  переменных  и  целевой  функции,  полученные  на ЭВМ,  вывод,  сколько  товара  каждого  вида  нужно  выпускать  и  какая  при  этом  ожидается прибыль.

Рассмотрим  решение  задачи  определения  оптимального ассортимента продукции. 
Фирма  производит  и  продает  два  типа  товаров.  Фирма  получает  прибыль  в  размере  11  тыс.р.  от  производства  и  продажи  каждой единицы  товара  1 и в  размере  5 тыс.р.  от  производства и продажи каждой  единицы  товара  2.  Фирма  состоит  из  трех  подразделений.  Затраты труда (чел.-дни) на  производство  этих  товаров в каждом  из подразделений указаны в таблице.

Подразделение	Трудозатраты, чел.-дней на 1 шт.
	товар 1	товар 2
1	1	3
2	2	2
3	3	2

Руководство   рассчитало,  что   в  следующем   месяце  фирма  будет располагать   следующими  возможностями  обеспечения  производства трудозатратами:   850  чел - дней  в  подразделении  1,  700  — в  подразделении 2 и 1900 — в подразделении 3. Сколько единиц товара 1 и товара 2 нужно  выпустить,  чтобы  суммарная  полученная  прибыль  была  максимальна?

Задание 2.  Составить  математическую  модель  ЗЛП  и  решить ее на ЭВМ, провести анализ решения. Значения параметров a,  b и c взять из таблицы для своего варианта.
 
Отчет  должен  содержать  математическую  модель,  значения  переменных  и  целевой  функции,  полученные  на  ЭВМ,  вывод,  сколько  комбикорма  каждого  вида  нужно  добавить  в  смесь,  и  какая  при этом будет ее стоимость.

Для  откорма  животных  используется  три  вида комбикорма: А, В и С. Каждому животному в сутки требуется не менее 800  г.  жиров,  700  г.  белков  и  900  г.  углеводов.  Содержание  в  1  кг.  каждого  вида  комбикорма  жиров  белков  и  углеводов(граммы)  приведено в таблице:
Содержание в 1 кг	Комбикорм
	А	В	С
Жиры	a	240	300
Белки	170	b	110
Углеводы	380	440	c
Стоимость 1 кг	31	23	20

Сколько  килограммов  каждого  вида  комбикорма  нужно  каждому  животному, чтобы полученная смесь имела минимальную стоимость?

Задание3.  Решить  с  помощью  ЭВМ  поставленную  ЗЛП,  провести  ее  анализ.  Следует  отметить,  что  в  задаче  число  переменных, для  которых  проводится  решение  равно 3х4=12,  поэтому,  для  исключения  ошибок  ввода  данных,  стоит  ввести  переменные xil
не  в  строку,  а  в  прямоугольную  таблицу  из  3-х  строк  и  4-х  столбцов  а  затем при  вводе  ограничений  использовать  строки  и  столбцы  этой  таблицы.
Отчет должен содержать полученные в результате решения на  ЭВМ  значения  переменных  и  целевой  функции,  вывод,  сколько  щебенки  с  каждого  карьера  нужно  перевезти  на  каждый строительный объект и какие будут затраты на перевозку.

Приведем  решение  транспортной  задачи.  Компания «Стройгранит» производит  добычу строительной щебенки и  имеет на  территории  региона  три  карьера.  Запасы  щебенки  на  карьерах  соответственно  равны  800,  900  и  600  тыс.  тонн.  Четыре  строительные  организации,  проводящие  строительные  работы  на  разных  объектах  этого  же  региона  дали  заказ  на  поставку  соответственно  300,  600,  650  и 500  тыс.  тонн  щебенки.  Стоимость  перевозки  1  тыс.  тонн  щебенки  с каждого карьера на каждый объект приведены в таблице:

Карьер	Строительный объект
	1	2	3	4
1	8	4	1	7
2	3	a	7	3
3	13-a	5	11	8

Значение неизвестного параметра а взять равным номеру варианта.

Задание 4.  Решить  поставленную  ЗЛП  на  ЭВМ  и  провести  ее анализ. 
Отчет  должен  содержать  значения  переменных  и  целевой функции,  полученные  на  ЭВМ  и  вывод,  какой  рабочий  будет  обслуживать каждый станок и какой при этом будет средний процент брака.

Цеху  металлообработки  нужно  выполнить  срочный  заказ  на  производство  деталей.  Каждая  деталь  обрабатывается  на 4-х  станках  С1,  С2,  С3  и  С4.  На  каждом  станке  может  работать  любой из  четырех  рабочих  Р1,  Р2,  Р3,  Р4,  однако,  каждый  из  них  имеет  на каждом  станке  различный  процент  брака.  Из  документации  ОТК  имеются данные о проценте брака каждого рабочего на каждом станке:

Рабочие	Станки
	С1	С2	С3	С4
Р1	2,3	1,9	2,2	2,7
Р2	1,8	2,2	2,0	1,8
Р3	2,5	2,0	2,2	3,0
Р4	2,0	2,4	2,4	2,8

Необходимо  так  распределить  рабочих  по  станкам,  чтобы  суммарный процент  брака (который  равен  сумме  процентов  брака  всех  4-х  рабочих) был минимален. Чему равен этот процент?

Лабораторная работа № 3.
РЕШЕНИЕ ДВОЙСТВЕННЫХ ЗАДАЧ И ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОГО  ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Цель:  научится  составлять  и  решать  двойственные  ЗЛП. 
Используя  теорию  двойственности,  научиться  методам  анализа  экономических  задач.  Получить  навыки  решения  задач  нелинейного  программирования на ЭВМ.

Задание 1.  Предприятие  выпускает  три  вида  продукции  А,  В и  С.  Для  выпуска  затрачиваются  ресурсы:  Труд,  Сырье  и  Энергия.  Остальные характеристики приведены в таблице:

Тип ресурса	Нормы затрат на ед. продукции	Наличие ресурсов
	А	В	С	
Труд	a	4	3	200
Сырье	1	1	2	b
Энергия	1	2	2	130
Цена ед. продукции	c	60	80	

Значения  неизвестных  параметров  a,  b и  c взять  из  таблицы  для  своего варианта.
 
Составить  и  решить  прямую  и  двойственную  задачи,  провести  анализ  решения.  Проанализировать  ценности  ресурсов.  Определить,  целесообразно  ли  включать  в  план  продукцию  четвертого  вида если  цена  единицы  этой  продукции  составляет  70  у.е.,  а  на  ее  производство расходуется по 2 ед. ресурсов каждого вида.
Отчет  должен  содержать  математическую  модель  прямой задачи,  полученные  на  ЭВМ  из  ее  решения  значения  переменных  и  целевой  функции,  математическую  модель  двойственной  задачи,  оптимальные  значения  ее  переменных  и  значение  целевой  функции.  Сделать  выводы:  1)  сколько  продукции  каждого  вида  следует  выпускать и  чему  при  этом  будет  равна  прибыль;  2)  какая  оценка  ценности  каждого  ресурса,  какие  ресурсы  дефицитные,  а  какие  нет;  3)  какие  общие  затраты  на  производство  продукции  четвертого  вида  и  целесообразно планировать ее выпуск.

Задание  2.  Найти  условные  экстремумы  целевой  функции  Z,  при заданных ограничениях:
 
Значения параметров a,  b и c взять из таблицы для своего варианта.

Отчет  должен  содержать  найденные  на  ЭВМ  оптимальные значения переменных и целевой функции.

Лабораторная работа № 4
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ НА ЭВМ
Цель: научиться методам решения многокритериальных ЗЛП с помощью ЭВМ, используя метод последовательных уступок.

Задание  1.  Решить методом  последовательных уступок  двухкритериальную задачу, представленную математической моделью:
Z1 = x1-3x2 → max
Z2 = 2x1-2x2 → min
3x1+5x2 ≥2
x1+x2 ≤11
x1-x2 ≤-1
x1 ≥0, x2 ≥0
Уступка по первому критерию оптимизации равна d1=2. 
Отчет  должен  содержать  оптимальные  значения  переменных  и  всех  целевых  функций,  полученных  в  результате  расчета  на ЭВМ.

Задание 2.  Молочный  комбинат,  исследовав  конъюнктуру  местного  рынка,  решил  выпускать  новый  вид  йогурта,  который был  бы  конкурентноспособен.  При  этом,  необходимо  разработать план  организации  производства  для  выпуска  данного  продукта.  Основными затратами на разработку являются затраты на модернизацию  оборудование  х  и  затраты  на  научные  исследования  у.  При  исследовании  установлено,  что  себестоимость  единицы  продукции  при этом  будет  зависеть  от  затрат  как  F1(x,y)=12+ax+by,  а  качество  продукции  как  F2(x,y)=6+cx+dy. Ставится  задача  минимизировать  себестоимость (цену)  данного  продукта  и  максимизировать
качество  выпускаемой  продукции.  Из  двух  целевых  функций  основной считается  цена (себестоимость  продукции).  По  фактору «цена» можно  сделать  уступку  3  денежные  единицы.  Решить  задачу  методом  последовательных  уступок  и  найти  оптимальные  значения  факторов  х  и  у,  а  также  значения  целевых функций,  если  на  факторы  наложены ограничения:
5x+4y≤40
2x+y≥8
0≤x≤6, y≥0.
Исходные данные взять в зависимости от варианта из таблицы.
 
Отчет  должен  содержать  математическую  модель  задачи, оптимальные  значения  переменных  и  всех  целевых  функций,  полученных  в  результате  расчета  на  ЭВМ,  выводы,  какие  должны  быть  затраты  на  модернизацию  оборудования  и  на  научные  исследования, какими при этом будет себестоимость и качество продукции.

Задание  3.  Решить методом  последовательных уступок  двухкритериальную задачу, представленную математической моделью:
Z1 = 2x1+x2- 5x3 → max
Z2 = 3x1+2x2-4x3 → min
4x1+6x2+ 5x3 ≥2
-2x1+x2-3x3 ≤27
6x1+5x2 ≤75
2x1+3x3 ≥3
x1 ≥0, x2 ≥0, x3 ≥0
 
Уступка по первому критерию оптимизации d1 равна номеру варианта. 
Отчет  должен  содержать  оптимальные  значения  переменных  и  всех  целевых  функций,  полученных  в  результате  расчета  на ЭВМ.

Задание  4.  Решить  методом  последовательных  уступок трехкритериальную  задачу,  представленную  математической  моделью:
 Z1 = -x1+3x2- 2x3 → min
Z2 = -3x1+2x2-x3 → max
Z3 = x1+2x2+4x3 → max
3x1+2x2+ ax3 ≥1
x1+bx2+x3 ≤19
cx1+3x2 ≤21
x1 ≥0, x2 ≥0, x3 ≥0

Значения параметров a,  b и c взять из таблицы для своего варианта.
 
Уступки по первому и второму критерию оптимизации равны d1=6,  d2=4. 
Отчет  должен  содержать  оптимальные  значения  переменных  и  всех  целевых  функций,  полученных  в  результате  расчета  на ЭВМ.

Лабораторная работа № 5
ЭКОНОМИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕТОДАМИ ТЕОРИИ ИГР
Цель:  ознакомится  с  методами  решения  экономических  задач в  условиях конфликтных  ситуаций  используя  математическую  модель теории матричных игр на ЭВМ.

Задание  1.  Самостоятельно  с  использованием  ЭВМ  решить поставленные  ЗЛП  и  найти  оптимальные  смешанные  стратегии  для игроков А и В. 
Отчет  должен  содержать  решения  поставленных  ЗЛП (значения  переменных xi 
yj, значения  целевых  функций),  смешанные стратегии  для  обоих  игроков
 
цену игры v.

Задание  2.  Директор  предприятия  А  заключает  договор  с конкурирующей фирмой  В  о  реализации  своей  продукции  на  конкретной  территории  областного  центра.  Конкурирующие  стороны выделили  пять  районов  области.  Каждая  из  них  может  развивать свое  производство  в  этих  пяти  районах: A1, A2, A3, A4, A5  -  для стороны  А  и B1, B2, B3, B4, B5  -  для  В.  Вероятности  успеха  для  стороны А приведены в платежной матрице:

Ai  \ Bj	B1	B2	B3	B4	B5
A1	30	70	50	40	60
A2	90	20	10	30	c
A3	a	40	30	80	60
A4	50	40	30	60	90
A5	20	30	b	60	10

Определить оптимальные стратегии для каждой стороны. 
Значения параметров a, b и c взять из таблицы для своего варианта.
 
Отчет должен содержать математическую модель ЗЛП, составленную для  игрока А,  ее  решение,  оптимальную  смешанную стратегию  для  игрока  А,  цену  игры  v,  выводы,  в  каких  районах  предприятие  А  должно  реализовывать  свою  продукцию  и  в  каких  пропорциях,  чтобы  получить  оптимальную  прибыль  вне  зависимости  от  поведения конкурента В и чему равна эта прибыль.

Задание 3. Решить игру, описанную платежной матрицей для обоих игроков(матрица приведена для игрока А).

Ai  \ Bj	B1	B2	B3	B4	B5
A1	9	a	6	3	5
A2	10	7	b	7	5
A3	5	8	12	11	1
A4	5	6	4	8	c

Значения параметров a,  b и c взять из таблицы для своего варианта.
 
Отчет  должен  содержать  математические  модели  ЗЛП,  составленные  для  обоих  игроков,  полученные  в  результате  решения  на ЭВМ  смешанные  стратегии  для  обоих  игроков   цену игры v.

Лабораторная работа № 6
ИГРЫ С ПРИРОДОЙ
Цель:  научится  методам  принятия  решений  в  условиях  неопределенности (такие  математические  модели  называются  Играми  с природой)  на  ЭВМ  с  использованием  критериев  Лапласа,  Вальда,  максимального оптимизма, Сэвиджа и Гурвица.
Задание  1.  Директор  торговой  фирмы,  продающей  телевизоры, 
решил  открыть  представительство  в  областном  центре.  У  него
имеются  альтернативы  либо  создавать  собственный  магазин  в  от
дельном  помещении,  либо  организовывать  сотрудничество  с  местными  торговыми  центрами.  Всего  можно  выделить  5  альтернатив  решения:  А1, А2, А3, А4, А5.  Успех  торговой  фирмы  зависит  от  того, как  сложится  ситуация  на  рынке  предоставляемых  услуг.  Эксперты выделяют  4  возможных  варианта  развития  ситуации  S1, S2, S3, S4.
Прибыль  фирмы  для  каждой  альтернативы  при  каждой  ситуации представлена матрицей выигрышей aij (млн. р./год).

Ai  \ Sj	S1	S2	S3	S4
A1	a	10	14	5
A2	9	10	11	10
A3	2	4	9	22
A4	12	14	10	1
A5	15	6	7	14

Величина а равна номеру варианта

Выбрать  наилучшую  альтернативу,  используя  критерии  Лапласа,  Вальда,  Байеса  с  p1=0,4 , p2=0,3, p3=0,1 , p4=0,2,  Сэвиджа  и Гурвица при коэффициенте доверия  a=0,6.