Линейная алгебра

Дисциплина Алгебра и геометрия

Вид работы	Контрольная
ВУЗ	Синергия
Дата	15.11.2018
Вариант	5

1. Для матриц А и В определить:
а) 3А+4В
б) АВ – ВА
в) (А-В)-1
4 5 2
0 1 -3
3 2 6

4 3 1
2 6 5
1 0 4

2. Вычислить следующие определители:
а) 3 -5 -2 2
   -4 7 4 4
  4 -9 -3 7
  2 -6 -3 2
б) 5/3 -8/3 -2/3 -7/3
   3/2 -9/2  -3/2 -3
  4/3 5/3 -1 -2/3
  7  -8  -4  -5

3. Решите систему линейных уравнений двумя способами (после решения необходимо выполнить проверку):
•	по формулам Крамера;
•	матричным способом.
13x1 – 6x2 = 32
8x1 +4x2+ x3 = 12
2x1 +9x2+ 5x3 = -5

4. Решить системы линейных уравнений методами Жордано-Гаусса:
а)
x1 + 5x2-3x3+4x4 = 12
2x1 + 2x2-x3+x4 = 4
4x1 + 3x2-x3+2x4 = 6
3x1 + 3x2-2x3+2x4 = 6

б)
x1 -6x2+3x3+2x4 = 4
3x1 - 2x2+6x3+4x4 = 2
6x1 -4x2+4x3+3x4 = 3

в)
x1 + 2x2-3x4+2x5 = 1
x1 -x2-3x3+x4-3x5 = 2
2x1 -3x2+4x3-5x4+2x5 = 7
5x1 -9x2+6x3-16x4+2x5 = 25

5.1. Установите линейную зависимость следующих векторов:

5.2. В естественном базисе заданы векторы. Установить, составляют ли они базис. Если составляют, то найти связь между новым и старым базисами, а так же в новом базисе найти компоненты вектора P=(2;-5;4).

1   9   -2
4   9    0
5   8   1

6. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы А
4 5 2
0 1 -3
3 2 6


7. Даны вершины A(x1,y1), B(x2,y2), C(x3,y3) треугольника ABC. Требуется найти:
•	уравнение стороны АС
•	уравнение высоты, проведенной из вершины В
•	длину высоты, проведенной из вершины А
•	величина (в радианах) угла В
•	уравнение биссектрисы угла В
A(-9;6), B(3;1), C(6;5)

8. Даны вершины A1(x1,y1,z1), A2(x2,y2,z2), A3(x3,y3,z3), A4(x4,y4,z4). Средствами векторной алгебры найти:
•	длину ребра А1А2
•	угол между ребрами А1А2 и А1А3
•	площадь грани А1А2А3
•	длину высоты пирамиды, проведенной из вершины А4
•	уравнение высоты  пирамиды, проведенной из вершины А4
•	объем пирамиды А1А2А3А4
A1(-1;2;5), A2(-4;6;4), A3(2;1;5), A4(-1;-2;2),

9. Составить уравнение плоскости, проходящей через:
Прямую и точку   и A(2;1-1)

10. Составить уравнение геометрического места центров окружностей, проходящих через точку А(-4;2) и касающихся оси OY. 

11. Составить уравнение гиперболы, симметричной относительно координатных осей, с фокусами на ОХ, если расстояние между фокусами равно 6, а эксцентриситет равна 3/2.